Question

设a＞0，讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x²-2（1-a）x的单调性．

Answer

求出函数的定义域，求出导函数，设g（x）=2a（1-a）x2-2（1-a）x+1，x∈（0，+∞），讨论a=1，a＞1与0＜a＜1三种情形，然后利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性．
【解析】
定义域{x|x＞0}
f′（x）==
设g（x）=2a（1-a）x2-2（1-a）x+1，x∈（0，+∞）
①若a=1，则g（x）=1＞0
∴在（0，+∞）上有f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．
②若a＞1则2a（1-a）＜0，g（x）的图象开口向下，
此时△=[-2（1-a）]2-4×2a（1-a）×1=4（1-a）（1-3a）＞0
方程2a（1-a）x2-2（1-a）x+1=0有两个不等的实根
不等的实根为x1=，x2=
且x1＜0＜x2
∴在（0，）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函数；
在（，+∞）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是减函数；
③若0＜a＜1则2a（1-a）＞0，g（x）的图象开口向上，
此时△=[-2（1-a）]2-4×2a（1-a）×1=4（1-a）（1-3a）
可知当≤a＜1时，△≤0，故在（0，+∞）上，g（x）≥0，
即f'（x）≥0，f（x）是增函数；
当0＜a＜时，△＞0，方程2a（1-a）x2-2（1-a）x+1=0有两个不等的实根
不等的实根满足＞＞0
故在（0，）和（，+∞）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函数；
在（，）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是减函数．