(I)在平面α内,过点P作PM⊥EF,点M为垂足,连接BM,则∠BMP为二面角α-EF-β的平面角,由已知中二面角α-EF-β的平面角为60°,结合,∠BCF=30°,且AC=CB=4,求出CP长及sin∠ACP,代入三角形面积公式,即可得到△ACP的面积;
(Ⅱ)过点A作AQ∥EF,交MP于点Q,则∠BAQ是AB与EF所成的角,且AQ⊥平面BMQ,解三角形△BAQ即可得到AB与EF所成角的正切值.
【解析】
(Ⅰ) 如图,在平面α内,过点P作PM⊥EF,点M为垂足,
连接BM,则∠BMP为二面角α-EF-β的平面角.
在Rt△BMC中,由∠BCM=30°,CB=4,得CM=,BM=2.
在Rt△BMP中,由∠BMP=60°,BM=2,得MP=1.在Rt△CMP中,
由CM=,MP=1,得CP=,cos∠PCM=,sin∠PCM=.
故 sin∠ACP=sin(150°-∠PCM)=.所以S△ACP=.…(7分)
(Ⅱ) 如图,过点A作AQ∥EF,交MP于点Q,
则∠BAQ是AB与EF所成的角,且AQ⊥平面BMQ.
在△BMQ中,由∠BMQ=60°,BM=MQ=2,得BQ=2.…(10分)
在Rt△BAQ中,由AQ=AC•cos30°+CM=4,BQ=2,得tan∠BAQ=.
因此AB与EF所成角的正切值为.…(13分)