Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点．
（Ⅰ）试证：AB⊥平面BEF；
（Ⅱ）设PA=k•AB，且二面角E-BD-C的平面角大于45°，求k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）欲证AB⊥平面BEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面BEF内两相交直线垂直，而AB⊥BF．
根据面面垂直的性质可知AB⊥EF，满足定理所需条件；
（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，设AB的长为1，求出平面CDB的法向量和平面EDB的法向量，然后利用向量的夹角公式建立关系，解之即可．
【解析】
（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且∠DAB为直角，
故ABFD是矩形，从而AB⊥BF．
又PA⊥底面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD，
因为AB⊥AD，故AB⊥平面PAD，
所以AB⊥PD，
在△PDC内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，所以AB⊥EF．
由此得AB⊥平面BEF． （6分）

（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，
设AB的长为1，则=（-1，2，0），=（0，1）
设平面CDB的法向量为，平面EDB的法向量为，
则
∴，取y=1，可得
设二面角E-BD-C的大小为θ，
则cosθ=|cos＜m1，m2＞|═
化简得，则．（12分）