Question

已知y=f（x），，对任意实数x，y满足：f（x+y）=f（x）+f（y）-3．
（Ⅰ）当n∈N^*时求f（n）的表达式；
（Ⅱ）若，求b_n；
（ III）记，试证c₁+c₂+…+c₂₀₁₀＜89．

Answer

（Ⅰ）令，得，由此导出f（n+1）-f（n）=2，从而求出当n∈N*时求f（n）的表达式．
（Ⅱ）由得=，由此能够导出bn．
（ III）由题设条件可推出，再由放缩法可以证明c1+c2+…+c2010＜89．
【解析】
（Ⅰ）令，
得
故f（n+1）=f（n）+f（1）-3=f（n）+2，
∴f（n+1）-f（n）=2
当n∈N*时f（n）=f（1）+[f（2）-f（1）]+[f（3）-f（2）]++[f（n）-f（n-1）]
=5+2（n-1）=2n+3
（Ⅱ）由
得=
∴
故
=1+3+5++（2n-1）=n2
∴
（ III）由（Ⅱ）知，c1=1
∵
∴
=．