Question

如图：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱DD₁的中点
（1）求证：BD₁∥平面AEC
（2）求证：AC⊥BD₁．

Answer

（1）欲证BD1∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线BD1与平行，根据中位线定理可知EF∥D1B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；
（2）根据正方形的性质及正方体的几何特征，结合线面垂直的性质，可得AC⊥BD，AC⊥D1D，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面D1DB，再由线面垂直的性质即可得到AC⊥BD1
证明：（1）连接BD交AC于F，连EF．（1分）
因为F为正方形ABCD对角线的交点，
所长F为AC、BD的中点．（3分）
在DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，
所以EF∥D1B．（5分）
又EF⊂平面EAC，所以BD1∥平面EAC．（7分）
（2）由正方形的性质可得AC⊥BD
又由正方体的几何特征可得：D1D⊥平面ABCD
又∵AC⊂平面ABCD
∴AC⊥D1D
又∵D1D∩BD=D
∴AC⊥平面D1DB
∵BD1⊂平面D1DB
∴AC⊥BD1