Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AA₁的中点，点N位于AB上．
（Ⅰ）问当为何值时，MN⊥MC₁
（Ⅱ）当N为AB中点时，求直线NC₁与平面ABB₁A₁所成角的正切值．

Answer

（I）连接MB1，NB1，由正方体的几何特征，我们可得MN⊥MB1，设正方体的棱长为1，AN=x，由勾股定理，可以得到一个关于x的方程，解方程求出x值，即可得到答案．
（II）连接NC1，NB1，由正方体的几何特征，可得∠C1NB1即为直线NC1与平面ABB1A1所成角，解△NB1C1即可得到直线NC1与平面ABB1A1所成角的正切值．
【解析】
（Ⅰ）连接MB1，NB1，∵C1B1⊥平面ABB1A1，∴C1B1⊥MN，若MN⊥MC1，则MN⊥平面MC1B1⇒MN⊥MB1，
在平面ABB1A1内，设正方体的棱长为1，AN=x，由于MN2+MB12=NB12，
可得：，故．…（8分）
（Ⅱ）连接NC1，NB1∵C1B1⊥平面ABB1A1，
知∠C1NB1即为直线NC1与平面ABB1A1所成角．设正方体的棱长为1，
在△NB1C1中，∵∴…（15分）