Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，则棱长为3，底面边长为2，E是棱BC的中点．
（Ⅰ）求证：BD₁∥平面C₁DE；
（Ⅱ）求二面角C₁-DE-C的大小；
（Ⅲ）在侧棱BB₁上是否存在点P，使得CP⊥平面C₁DE？证明你的结论．

Answer

（I）连接CD1，与C1D相交于O，连接EO，要证BD1∥平面C1DE，直线证明BD1平行平面C1DE内的直线EO即可；
（II）过点C作CH⊥DE于H，连接C1H，说明∠C1HC是二面角C1-DE-C的平面角，然后求二面角C1-DE-C的大小；
（III）用反证法证明在侧棱BB1上不存在点P，使得CP⊥平面C1DE，推出矛盾即可．
【解析】
（I）证明：连接CD1，与C1D相交于O，连接EO．
∵CDD1C1是矩形，
∴O是CD1的中点，
又E是BC的中点，
∴EO∥BD1．（2分）
又BD1⊄平面C1DE，EO⊂平面C1DE，
∴BD1∥平面C1DE．（4分）

（II）【解析】
过点C作CH⊥DE于H，连接C1H．
在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，
∴C1H⊥DE，
∠C1HC是二面角C1-DE-C的平面角．（7分）
根据平面几何知识，易得H（0.8，1.6，0）
．∴，
∵（9分）
∴，
∴二面角C1-DE-C的大小为ArCCOs．（10分）

（III）【解析】
在侧棱BB1上不存在点P，使得CP⊥平面C1DE（11分）
证明如下：
假设CP⊥平面C1DE，则必有CP⊥DE．
设P（2，2，a），其中0≤a≤3，
则，
∵，这显然与CP⊥DE矛盾．
∴假设CP⊥平面C1DE不成立，
即在侧棱BB1上不存在点P，使得CP⊥平面C1DE．（14分）