Question

设椭圆=1（a＞b＞0）的焦点为F₁、F₂，P是椭圆上任一点，若∠F₁PF₂的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线l与椭圆交于M、N两点，且l与以原点为圆心，短轴长为直径的圆相切．已知|MN|的最大值为4，求椭圆的方程和直线l的方程．

Answer

（1）由椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|=2a，由余弦定理可得，COS∠F1PF2=，代入可求离心率
（2）由（I）可得e=，从而可得椭圆方程为y2+4x2=4b2，该直线l：y=kx+m．由直线l与圆x2+y2=b2相切，可得m2=b2（1+k2），联立方程可得（4+k2）x2+2kmx+m2-4b2=0而|MN|=4b•≤2b可求
【解析】
∵椭圆方程为=1（a＞b＞0）
（1）|PF1|+|PF2|=2a
cosF1PF2=
∴e=
（2）∵e=，∴a2=4b2．
∴椭圆方程为y2+4x2=4b2
该直线l：y=kx+m．
∵直线l与圆x2+y2=b2相切，∴m2=b2（1+k2）①
从得（4+k2）x2+2kmx+m2-4b2=0
∵|MN|=4b•≤2b
当且仅当k=±时取等号．
∴l：y=±
此时椭圆方程为：=1．