Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）在各项均不为零的数列{c_n}中，若ci•ci+1＜0，则称ci，ci+1为这个数列{c_n}一对变号项．令（n为正整数），求数列{c_n}的变号项的对数．

Answer

（1）由不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素可得△=a2-4a=0，所以a=0或a=4，又在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立，所以a=4．
（2）由当n≥2时，an=Sn-Sn-1可得an=2n-5，但是必须检验当n=1时，a1=S1=1也符合上式，∴an=．
（3）方法一是通过数列{cn}的单调性解答即cn+1-cn=的单调性．方法二解不等式找出数列{cn}的变号项的对数．
【解析】
（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
∴△=a2-4a=0Þa=0或a=4，
当a=4时，函数f（x）=x2-4x+4在（0，2）上递减，
故存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．
当a=0时，函数f（x）=x2在（0，+∞）上递增，
故不存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．
综上：a=4，f（x）=x2-4x+4．
（2）由（1）可知：Sn=n2-4n+4．当n=1时，a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2-4n+4）-[（n-1）2-4（n-1）+4]=2n-5，
∴an=
（3）法一：由题设cn=，
∵当n≥2时，cn+1-cn=-=，
∴当n≥3时，数列{cn}递增，∵c3=-3＜0，又由cn=1-≥0，得n≥5，
可知c4•c5＜0，即n≥3时，有且只有一对变号项，
又∵c1=-3，c2=5，c3=-3，即c1•c2＜0，c2•c3＜0，∴此处有2对变号项．
综上可得：数列{cn}的变号项有3对．
法二：当i≥2时，ci=1-=，
∵ci•ci+1＜0，∴•＜0，
∴＜i＜或＜i＜，∵i≥2，i∈N*，∴i=2或4，
即c2•c3＜0，c4•c5＜0，此处有2对变号项，
又∵c1=-3，c2=5，即c1•c2＜0，此处有一对变号项，
综上可得：数列{cn}的共有3对变号项．