Question

设函数f（x）=x³+bx²+cx+5，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求实数c的值；
（Ⅱ）判断是否存在实数b，使得方程f（x）-b²x=0恰有一个实数根．若存在，求b的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行，可得f'（0）=0．从而可求
（II）若使方程f（x）-b2x=x3+bx2-b2x+5=0恰有一个实数根．构造函数g（x）=x3+bx2-b2x+5，只需g（x）极大值＜0或g（x）极小值＞0，利用导数可求
【解析】
（I）∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行，∴f'（0）=0．
又f'（x）=3x2+2bx+c，则f'（0）=c=0．
（II）由c=0，方程f（x）-b2x=0可化为x3+bx2-b2x+5=0，假设存在实数b使得此方程恰有一个实数根，则令g（x）=x3+bx2-b2x+5，只需g（x）极大值＜0或g（x）极小值＞0
∴g'（x）=3x2+2bx-b2=（3x-b）（x+b）令g'（x）=0，得，x2=-b
①若b=0，则方程f（x）-b2x=0可化为x3+5=0，此方程恰有一个实根
②若b＞0，则，列表：

x （-∞，-b） -b
g'（x） + - +
g（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

∴g（x）极大值=g（-b）=b3+5＞0，
∴，解之得0＜b＜3
③若b＜0，则，列表：

x -b （-b，+∞）
g'（x） + - +
g（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

∴，g（x）极小值=g（-b）=b3+5
∴b3+5＞0，解之得
∴
综合①②③可得，实数b的取值范围是．