Question

已知等比数列{a_n}中，a₂=2，a₅=128，若b_n=log₂a_n，数列{b_n}前n项的和为S_n．
（Ⅰ）求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）求不等式S_n＜2b_n的解集．

Answer

（I）设数列{an}的公比为q，由a2=2，a5=128求得a1和q，再根据等比数列{an}的通项公式，进而可知数列{bn}是等差数列．再利用等差数列的求和公式求得答案．
（II）由Sn＜2bn，得n2-2n＜2（2n-3），即n2-6n+6＜0，解不等式即可
【解析】
（I）在等比数列{an}中，由a5=a2q3，又a2=2，a5=128，q3=64，
∴q=4，∴an=a2qn-2=2•4n-2=22n-3，
∴bn=log2an=log222n-3=2n-3．bn=b1+b2+b3+…+bn=（2•1-3）+（2•2-3）+（2•3-3）+…+（2•n-3）
=2（1+2+3+…+n）-3n=n2-2n
（II）由Sn＜2bn，得n2-2n＜2（2n-3），即n2-6n+6＜0，
∴又n∈N*，
∴n=2，3，4
故原不等式的解集是{2，3，4}