Question

已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x-）+2cos²x（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最大值及此时自变量x的取值集合；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求使f（x）≥2的x的取值范围．

Answer

先由公式对函数函数f（x）进行化简整理，得到f（x）=2sin（2x+）+1
（1）f（x）取得最大值3，令2x+=+2kπ，解出自变量的取值范围，写成集合的形式；
（2）令相位2x+∈[-+2kπ，+2kπ]，（k∈Z），解出x∈[-+kπ，+kπ]，（k∈Z）即得函数的增区间；
（3）由f（x）≥2得sin（2x+）≥，由正弦函数的性质解此三角不等式，求出不等式的解集．
【解析】
f（x）=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcos-cos2xsin+1+cos2x=2sin2xcos+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1
（1）f（x）取得最大值3，此时2x+=+2kπ，即x=+kπ，k∈Z
故x的取值集合为{x|x=+kπ，k∈Z}
（2）由2x+∈[-+2kπ，+2kπ]，（k∈Z）得，x∈[-+kπ，+kπ]，（k∈Z）
故函数f（x）的单调递增区间为[-+kπ，+kπ]，（k∈Z）
（3）f（x）≥2⇔2sin（2x+）+1≥2⇔sin（2x+）≥⇔+2kπ≤2x+≤+2kπ⇔kπ≤x≤+kπ，（k∈Z）
故f（x）≥2的x的取值范围是[kπ，+kπ]，（k∈Z）