Question

已知三条直线l₁：mx-y+m=0，l₂：x+my-m（m+1）=0，l₃：（m+1）x-y+（m+1）=0，它们围成△ABC．
（I）求证：不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点；
（II）当m取何值时，△ABC的面积取最大值、最小值？并求出最值．

Answer

（1）联立方程得出l1，l3交于A（-1，0），l2，l3交于B（0，m+1）从而可以证明结论．
（2）首先根据条件得出角C为直角，从而得出S=|AC|•|BC|，再利用点到直线的距离公式得出BC=，AC=，然后利用均值不等式求出，的最值，即可得出结果．
【解析】
（1）根据题意得 l1，l3交于A（-1，0）l2，l3交于B（0，m+1）
∴不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点（-1，0）
（2）从条件中可以看出l1、l2垂直
∴角C为直角，
∴S=|AC|•|BC|
|BC|等于点（0，m+1）到l1的距离d==
|AC|等于（-1，0）到l2的距离d=
S=×=[1+]
当m＞0时，有最大值
同理，当m＜0时，有最小-
所以m=1时S取最大值为m=-1时S取最小值