（I）若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体...

（I）若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是
A．64 B．66 C．68 D．70
（II）圆C：x²+y²-24x-28y-36=0内有一点Q（4，2），过点Q作直角AQB交圆于A，B，则动弦AB中点的轨迹方程．

（I）由2、3、5的最小公倍数为30，由2、3、5组成的棱长为30的正方体的一条对角线穿过的长方体为整数个，所以由2、3、5组成棱长为90的正方体的一条对角线穿过的小长方体的个数应为3的倍数，由此规律选出正确选项；（II）设出线段AB的中点坐标为（x，y），可得2x=xA+xB，2y=yA+yB，将A，B两点的坐标代入圆的方程，两式相加整理得出4x2+4y2-48x-56y-72=2（xA×xB+yA×yB），再由PA⊥PB 得出16x+8y-40=2（xA×xB+yA×yB）两式联立即可得到AB中点Q的轨迹方程【解析】（I）由2、3、5的最小公倍数为30，由2、3、5组成的棱长为30的正方体的一条对角线穿过的长方体为整数个，所以由2、3、5组成棱长为90的正方体的一条对角线穿过的小长方体的个数应为3的倍数，考察四个选项，仅有B符合要求，故选B （II）设出线段AB的中点坐标为（x，y）由题意各2x=xA+xB，2y=yA+yB ∴4x2=（xA+xB）2 4y2=（yA+yB ）2 又x2+y2-24x-28y-36=0 ∴（xA）2+（yA）2-24xA-28yA-36=0 （xB）2+（yB）2-24xB-28yB-36=0 以上两式相加得[（xA）2+（yA）2-24xA-28yA-36]+[（xB）2+（yB）2-24xB-28yB-36]=0 ∴（xA）2+（xB）2+（yA）2+（yB）2-24×（xA+xB）-28×（yA+yB）-72=0 ∴（xA+xB）2-2xA×xB+（yA+yB）2-2yA×yB-24×2x-28×2y-72=0 ∴4x2+4y2-48x-56y-72=2（xA×xB+yA×yB）又PA⊥PB ∴[（yA-2）/（xA-4）]×[（yB-2）/（xB-4）]=-1 ∴（xA-4）×（xB-4）+（yA-2）×（yB-2）=0 ∴xA×xB+yA×yB=4（xA+xB）+2（yA+yB）-20 ∴xA×xB+yA×yB=4×2x+2×2y-20 ∴16x+8y-40=2（xA×xB+yA×yB） ∴4x2+4y2-48x-56y-72=16x+8y-40 整理得x2+y2-16x-16y-8=0 即AB中点Q的轨迹方程是园：（x-8）2+（y-8）2=136（位于圆内）．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等