Question

已知函数f_n（x）=（1+x）ⁿ-1，（n∈N*，且n＞1）．
（1）设函数h（x）=f₃（x）-F₂（x），x∈[-2，0]，求h（x）的最大值和最小值．
（2）若x＞-2求证：f_n（x）≥nx．

Answer

（1）根据题意求出h（x）的导函数为0时x的值，然后当x∈[-2，0]时，分区间讨论导函数的正负得到函数的增减区间，得到函数的最大值和最小值即可；
（2）令g（x）=fn（x）-nx=（1+x）n-1-nx．求出导函数，利用导数研究函数的增减性得到函数的最小值为g（0）=0，即可得证．
【解析】
（1）h（x）=f3（x）-f2（x）=x（1+x）2，x∈[0，2]
∴h'（x）=（1+x）2+2x（1+x）=（1+x）（1+3x），
令h'（x）=0，得x=-1或x=-，

∴h（x）在（-2，-1），（-，0）上单调递增，在（-1，-）上单调递减，过点（0，0）．
∴x∈[-2.0]时，f（x）max=f（-1）=f（10）=0．f（x）min=f（-2）=-2

（2）令g（x）=fn（x）-nx=（1+x）n-1-nx．
则g'（x）=n（x+1）n-1-n=n[（x+1）n-1-1]，
∴当-2＜x＜0时，g'（x）＜0；当x＞0时g'（x）＞0．
∴g（x）在（-2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
∴当x=0时，g（x）min=g（0）=0，即g（0）≥g（x）min=0，
∴fn（x）≥nx．