Question

现有甲、乙两个容器，分别盛有浓度为10%、20%的某种饮料各500ml．实验人员对它们进行调和试验，调和操作程序是同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液，分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀，称为第一次调和；然后又同时从第一次调和后的甲、乙两个容器中各取出100ml溶液分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀，称为第二次调和；…依照上述操作程序反复进行调和试验，记第n-1（n∈N*）次调和后甲、乙两个容器中饮料的浓度分别为a_n和b_n．
（1）试写出a₁和b₁的值．（2）依据调和程序，试用n表示甲、乙两个容器中两种饮料的浓度的差b_n-a_n．（3）试求出第n-1（n∈N*）次调和后甲、乙两个容器中饮料的浓度a_n、b_n关于n的表达式．

Answer

（Ⅰ）根据题设知条件知a1=10%，b1=20%．
（Ⅱ）由an==an-1+bn-1，bn==bn-1+an-1．知bn-an=（bn-1+an-1）-（an-1+bn-1）=（bn-1-an-1）（n≥2）．由此能够用n表示甲、乙两个容器中两种饮料的浓度的差bn-an．
（Ⅲ）由bn-an=和an+bn=an-1+bn-1═a1+b1=30%=联立能够求出an和bn．
【解析】
（Ⅰ）依题设，a1=10%，b1=20%．
（Ⅱ）∵an==an-1+bn-1，
bn==bn-1+an-1．
∴bn-an=（bn-1+an-1）-（an-1+bn-1）=（bn-1-an-1）（n≥2）．
可知数列{bn-an}为首项是b1-a1=10%，公比为的等比数列，
∴bn-an=（b1-a1）=10%=．
（Ⅲ）由（Ⅱ）bn-an=①
又an+bn=an-1+bn-1═a1+b1=30%=②
联立①②得an=-，bn=+．