Question

对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点．如果函数f（x）=有且仅有两个不动点0和2．
（1）试求b、c满足的关系式．
（2）若c=2时，各项不为零的数列{a_n}满足4S_n•f（）=1，求证：＜＜．
（3）设b_n=-，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₀₉-1＜ln2009＜T₂₀₀₈．

Answer

（1）设=x的不动点为0和2，由此知即即且c≠0．
（2）由c=2，知b=2，，2Sn=an-an2，且an≠1．所以an-an-1=-1，an=-n，要证待证不等式，只要证，即证，只要证，即证．考虑证不等式（x＞0），由此入手能导出＜＜．
（3）由bn=，知Tn=．在中，令n=1，2，3，…，2008，并将各式相加，能得到T2009-1＜ln2009＜T2008．
【解析】
（1）设=x的不动点为0和2
∴即即且c≠0
（2）∵c=2∴b=2∴f（x）=，
由已知可得2Sn=an-an2①，且an≠1．
当n≥2时，2Sn-1=an-1-an-12②，
①-②得（an+an-1）（an-an-1+1）=0，∴an=-an-1或an=-an-1=-1，
当n=1时，2a1=a1-a12⇒a1=-1，
若an=-an-1，则a2=1与an≠1矛盾．∴an-an-1=-1，∴an=-n
∴要证待证不等式，只要证，
即证，
只要证，即证．
考虑证不等式（x＞0）**．
令g（x）=x-ln（1+x），h（x）=ln（x+1）-（x＞0）．
∴g'（x）=，h'（x）=，
∵x＞0，∴g'（x）＞0，h'（x）＞0，∴g（x）、h（x）在（0，+∞）上都是增函数，
∴g（x）＞g（0）=0，h（x）＞h（0）=0，∴x＞0时，．
令x=则**式成立，∴＜＜，
（3）由（Ⅱ）知bn=，则Tn=1+
在中，令n=1，2，3，，2008，并将各式相加，
得＜1+．
即T2009-1＜ln2009＜T2008．