Question

在等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB中点，CD=2，AB=4，AD=BC=．沿EF将梯形AFED折起，使得∠AFB=60°，如图．
（Ⅰ）若G为FB的中点，求证：AG⊥平面BCEF；
（Ⅱ）求二面角C-AB-F的正切值．

Answer

（I）由已知AF=BF，∠AFB=60°，G为FB的中点，可得AG⊥FB①再由E、F分别是CD、AB的中点，可得EF⊥AB，于是EF⊥AF，EF⊥BF，则EF⊥平面ABF，进而可得AG⊥EF②，结合①②根据直线与平面垂直的判定定理可证AG⊥平面BCEF
（II）（法一：三垂线法）利用梯形的知识可得CG∥EF，由已知易证EF⊥面ABF，从而可得CG⊥面ABF，考虑利用三垂线法，过点G作GH⊥AB于H，连接CH，据三垂线定理可得∠CHG为二面角C-AB-F的平面角．在Rt△BHG中求解∠CHG
（法二：空间向量法）结合题中的条件，可考虑分别以FB、FE为x、y、轴，以过F且垂直于面FBCE的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，借助于坐标系找出平面ABCD的一个法向量，平面ABF的一个法向量，代入公式可求
【解析】
（Ⅰ）因为AF=BF，∠AFB=60°，△AFB为等边三角形．
又G为FB的中点，所以AG⊥FB．（2分）
在等腰梯形ABCD中，因为E、F分别是CD、AB的中点，
所以EF⊥AB．于是EF⊥AF，EF⊥BF，则EF⊥平面ABF，
所以AG⊥EF．（4分）
又EF与FB交于一点F，所以AG⊥平面BCEF．（5分）

（Ⅱ）解法一：连接CG，因为在等腰梯形ABCD中，
CD=2，AB=4，E、F分别是CD、AB中点，
所以EC=FG=BG=1，从而CG∥EF．
因为EF⊥面ABF，所以CG⊥面ABF．（7分）
过点G作GH⊥AB于H，连接CH，据三垂线定理有CH⊥AB，
所以∠CHG为二面角C-AB-F的平面角．（9分）
因为Rt△BHG中，BG=1，∠GBH=60°，所以GH=．（10分）
在Rt△CGB中，CG⊥BG，BG=1，BC=，所以CG=1．（11分）
在Rt△CGH中，tan∠CHG==，故二面角C-AB-F的正切值为．（12分）
解法二：如图所示建立空间直角坐标系，由已知可得，
点B（2，0，0），A（1，0，），C（1，1，0）．（7分）
因为EF⊥平面ABF，所以=（0，1，0）为
平面ABF的一个法向量．（8分）
设=（x，y，z）为平面ABCD的法向量，
因为，，
由，，得，即．
令，则，z=1，所以=（，，1）．（10分）
所以cos＜，＞==．（11分）
从而tan＜，＞=，故二面角C-AB-F的正切值为．（12分）