Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，如果为常数，则称数列{a_n}为“科比数列”．
（Ⅰ）已知等差数列{b_n}的首项为1，公差不为零，若{b_n}为“科比数列”，求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}的各项都是正数，前n项和为S_n，若c₁³+c₂³+c₃³+…+c_n³=S_n²对任意n∈N^*都成立，试推断数列{c_n}是否为“科比数列”？并说明理由．

Answer

（Ⅰ）设等差数列{bn}的公差为d，根据，b1=1，整理得（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．因为对任意正整数n上式恒成立，进而可得关于k和d的方程组，求得k和d，进而求得{bn}的通项公式．
（Ⅱ）先由题意求得a1，当n≥2时根据cn=Sn-Sn-1，求得数列{cn}的通项公式，进而代入不是常数故推断数列{cn}不是“科比数列”．
【解析】
（Ⅰ）设等差数列{bn}的公差为d（d≠0），，因为b1=1，则，即2+（n-1）d=4k+2k（2n-1）d．
整理得，（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．
因为对任意正整数n上式恒成立，则，解得．
故数列{bn}的通项公式是bn=2n-1．
（Ⅱ）由已知，当n=1时，c13=S12=c12．因为c1＞0，所以c1=1．
当n≥2时，c13+c23+c33++cn3=Sn2，c13+c23+c33++cn-13=Sn-12．
两式相减，得cn3=Sn2-Sn-12=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1）=cn•（Sn+Sn-1）．
因为cn＞0，所以cn2=Sn+Sn-1=2Sn-cn．
显然c1=1适合上式，所以当n≥2时，cn-12=2Sn-1-cn-1．
于是cn2-cn-12=2（Sn-Sn-1）-cn+cn-1=2cn-cn+cn-1=cn+cn-1．
因为cn+cn-1＞0，则cn-cn-1=1，所以数列{cn}是首项为1，公差为1的等差数列．
所以不为常数，故数列{cn}不是“科比数列”．