Question

如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P．
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F．若△OEF的面积不小于，求直线l斜率的取值范围．

Answer

（Ⅰ）以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，由题意得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=-=2＜|AB|=4．由此可知曲线C的方程；
（Ⅱ）依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-k2）x2-4kx-6=0．由此入手能够求出直线l的斜率的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）【解析】
以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，
则A（-2，0），B（2，0），D（0，2），P（），依题意得
|MA|-|MB|=|PA|-|PB|
=-
=2＜|AB|=4．
∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线．
设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，
则c=2，2a=2，∴a2=2，b2=c2-a2=2．
∴曲线C的方程为．
（Ⅱ）【解析】
依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，
得（1-k2）x2-4kx-6=0．
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴⇔．
∴．②
设E（x1，y1），F（x2，y2），则由①式得
|x1-x2|=．③
当E、F在同一支上时
S△OEF=|S△ODF-S△ODE|=|OD|•||x1|-|x2||=|OD|•|x1-x2|；
当E、F在不同支上时
S△OEF=S△ODF+S△ODE=|OD|•（|x1|+|x2|）=|OD|•|x1-x2|．
综上得S△OEF=，于是由|OD|=2及③式，
得S△OEF=．
若△OEF面积不小于2，即，则有，解得．④
综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为且k≠±1