Question

若定义在正整数有序对集合上的二元函数f满足：①f（x，x）=x，②f（x，y）=f（y，x）；③（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y），则f（12，16）的值是（ ）
A．12
B．16
C．24
D．48

Answer

先将性质③转化为f（x，x+y）=（x+y）f（x，y），再将所求f（12，16）中的16分解为12+4，利用性质③转化为求f（12，4），利用性质②将所求转化为求f（4，12），再利用性质③转化为求f（4，8），以此类推，最后转化为求f（4，4）．利用性质①即可
【解析】
依题意：∵（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y），∴f（x，x+y）=（x+y）f（x，y）
∴f（12，16）=f（12，12+4）=（12+4）f（12，4）=4f（12，4）
=4f（4，12）=4f（4，4+8）=4×（4+8）f（4，8）=6f（4，8）
=6f（4，4+4）=6×（4+4）f（4，4）=12f（4，4）=12×4=48
故选 D