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高中数学试题
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对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设f″(x)是函...
对于三次函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d(a≠0),定义:设f″(x)是函数y=f(x)的导数y=f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x
,则称点(x
,f(x
))为函数y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对称中心;且‘拐点’就是对称中心.”请你将这一发现为条件,函数
,则它的对称中心为
;计算
=
.
①由于f(x)=,f′(x)=3x2-3x+3,f″(x)=6x-3,由f″(x)=0可求得x=,f()=1; ②设P(x,y)为曲线上任意一点,由于函数的对称中心为 ,故点P关于的对称点P′(1-x,2-y)也在曲线上,于是有f(1-x)=2-y.从而可求值. 【解析】 ①∵f(x)=, ∴f′(x)=3x2-3x+3,f″(x)=6x-3, 由f″(x)=0得x=, f()=-×+3×-=1; ∴它的对称中心为; ②设P(x,y)为曲线上任意一点, ∵曲线的对称中心为 ; ∴点P关于的对称点P′(1-x,2-y)也在曲线上, ∴f(1-x)=2-y. ∴f(x)+f(1-x)=y+(2-y)=2. ∴=[]+[]+…+[]=2×1006=2012. 故答案为:;2012.
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考点分析:
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