Question

已知函数f（x）=x³+ax²-x+2，（a∈R）
（1）若f（x）在（0，1）上是减函数，求a的最大值；
（2）若f（x）的单调递减区间是，求函数y=f（x）图象过点（1，1）的切线与两坐标轴围成图形的面积．

Answer

（1）先求导函数，则问题等价于f′（x）在（0，1）上恒有f′（x）≤0，从而问题得解；
（2）利用f（x）的单调递减区间可知f′（x）=3x2+2ax-1=0的两个根为 和1，从而可求函数的解析式；由于（1，1）可能是切点，也有可能不是切点故进行分类讨论求切线方程，进而求面积．
【解析】
（1）f′（x）=3x2+2ax-1，由题意可知，f′（x）在（0，1）上恒有f′（x）≤0，则f′（0）≤0且f′（1）≤0，得a≤-1，所以a的最大值为-1 …．（5分）
（2）∵f（x）的单调递减区间是，∴f′（x）=3x2+2ax-1=0的两个根为 和1，
可求得a=-1，∴f（x）=x3-x2-x+2，
①若（1，1）不是切点，则设切线的切点为（x，y），（x≠1），则有y=3x2-2x-1，解得x=1（舍），x=0，∴y=2，k=-1
②若（1，1）是切点，则k=f′（1）=0
综上，切线方程为y=1，x+y-2=0∴这两条切线方程与两坐标轴围成的图形为直角梯形
它的面积S=…..（13分）