Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n+2n=2a_n
（1）证明：数列{a_n+2}是等比数列．并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），设T_n是数列的前n项和．求证：．

Answer

（1）由Sn+2n=2an，知Sn=2an-2n．当n=1 时，S1=2a1-2，则a1=2，当n≥2时，Sn-1=2an-1-2（n-1），故an=2an-1+2，由此能够证明数列{an+2}是等比数列．并能求出数列{an}的通项公式an．
（2）由bn=log2（an+2）==n+1，得，故，由此利用错位相减法能够求出Tn，并证明．
证明：（1）由Sn+2n=2an得 Sn=2an-2n
当n∈N*时，Sn=2an-2n，①
当n=1 时，S1=2a1-2，则a1=2，
则当n≥2，n∈N*时，Sn-1=2an-1-2（n-1）．②
①-②，得an=2an-2an-1-2，
即an=2an-1+2，
∴an+2=2（an-1+2）
∴，
∴{an+2}是以a1+2为首项，以2为公比的等比数列．
∴an+2=4•2n-1，
∴an=2n+1-2．
（2）证明：由bn=log2（an+2）==n+1，
得，
则，③
  ④
③-④，得
=
=
=，
所以 ．