Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁、F₂在坐标轴上，离心率为且过点（4，-）
（Ⅰ）求双曲线方程；
（Ⅱ）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F₁F₂为直径的圆上；
（Ⅲ）由（Ⅱ）的条件，求△F₁MF₂的面积．

Answer

（1）双曲线方程为x2-y2=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程，
（2）先求出 •的解析式，把点M（3，m）代入双曲线，可得出 •=0，即可证明．
（3）求出三角形的高，即m的值，可得其面积．
【解析】
（Ⅰ）∵离心率e=
∴设所求双曲线方程为x2-y2=λ（λ≠0）
则由点（4，-）在双曲线上
知λ=42-（-）2=6
∴双曲线方程为x2-y2=6
（Ⅱ）若点M（3，m）在双曲线上
则32-m2=6∴m2=3
由双曲线x2-y2=6知F1（2，0），F2（-2，0）
∴
∴，故点M在以F1F2为直径的双曲线上．
（Ⅲ）S△F1MF2=×2C×|M|=C|M|=2×=6