Question

已知数列{a_n}，a₁=1，且满足关系a_n-a_n-1=2（n≥2），
（1）写出a₂，a₃，a₄，的值，并猜想{a_n}的一个通项公式．
（2）利用数学归纳法证明你的结论．

Answer

（1）由a1=1，an-an-1=2（n≥2），可求得a2，a3，a4的值，从而可猜想{an}的一个通项公式．
（2）按照数学归纳法的证题步骤：先证明n=1时命题成立，再假设当n=k（k≥2）时结论成立，去证明当n=k+1时，结论也成立，从而得出命题an=2n-1对任意的正整数n恒成立．
【解析】
（1）∵a1=1，an-an-1=2（n≥2），
∴a2=2+a1=3，同理可求得a3=5，a4=7，故可猜想得到an=2n-1．        …（4分）
（2）证明：①当n=1时，结论显然成立；          …（6分）
②设当n=k（k≥2）时，结论成立，即ak=2k-1，
则当n=k+1时，ak+1-ak=2，…（8分）
所以ak+1=ak+2=2k-1+2=2（k+1）-1，也满足公式．  …（10分）
综①②知，命题an=2n-1对任意的正整数n恒成立．  …（12分）