Question

设函数f（x）=2x³-3（a-1）x²+1，其中a≥1．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）讨论f（x）的极值．

Answer

（I）先求导数fˊ（x），求出f′（x）=0的值，然后讨论a=1与a＞1两种情形，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，从而的函数f（x）的单调区间；
（II）讨论a=1与a＞1两种情形，根据（I）可知f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，从而的函数f（x）的极值．
【解析】
由已知得f′（x）=6x[x-（a-1）]，
令f′（x）=0，解得x1=0，x2=a-1．
（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增
当a＞1时，f′（x）=6x[x-（a-1）]，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

从上表可知，函数f（x）在（-∞，0）上单调递增；在（0，a-1）上单调递减；在（a-1，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
当a=1时，函数f（x）没有极值．
当a＞1时，函数f（x）在x=0处取得极大值，在45处取得极小值1-（a-1）3．