Question

抛物线方程为y²=p（x+1）（p＞0），直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边．
（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；
（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，求p关于m的函数f（m）的表达式；
（3）在（2）的条件下，若m变化，使得原点O到直线QR的距离不大于，求p的值的范围．

Answer

（1）由抛物线的性质可得抛物线的准线方程x=-1-，由直线x+y=m与x轴的交点为（m，0）在准线右边可得，，要证直线与抛物线总有两个交点，只要证明由所得方程x2-（2m+p）x+（m2-p）=0的判别式△＞0即可
（2）设Q、R两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由（1）知，x1、x2是方程x2-（2m+p）x+m2-p=0的两根，由方程的根与系数的关系及由OQ⊥OR，可得x1x2+y1y2=0可求
（3）解法一：由题意可得可求m的范围，结合（2）中m＞-2且m≠0可求m的范围，而f（m）==（m+2）+-4，利用函数单调性的定义可求p的范围
解法二：由解法一可知，m的范围，由（2）知p=f（m）=，利用二次函数的单调性可求p的范围
【解析】
（1）∵抛物线y2=p（x+1）的准线方程是x=-1-
∵直线x+y=m与x轴的交点为（m，0）在准线右边
∴
∴m＞-1-，即4m+p+4＞0．
由
得x2-（2m+p）x+（m2-p）=0．
而判别式△=（2m+p）2-4（m2-p）=p（4m+p+4）．
又p＞0及4m+p+4＞0，可知△＞0．
因此，直线与抛物线总有两个交点；                   …（4分）
（2）设Q、R两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
由（1）知，x1、x2是方程x2-（2m+p）x+m2-p=0的两根，
∴x1+x2=2m+p，x1•x2=m2-p．由OQ⊥OR，得kOQ•kOR=-1，
即有x1x2+y1y2=0．又Q、R为直线x+y=m上的点，
因而y1=-x1+m，y2=-x2+m．
于是x1x2+y1y2=2x1x2-m（x1+x2）+m2=2（m2-p）-m（2m+p）+m2=0，
∴p=f（m）=，由得m＞-2，m≠0；…（9分）
（3）解法一：由于原点O到直线x+y=m的距离不大于，于是，
∴|m|≤1．由（2），知m＞-2且m≠0
故m∈[-1，0）∪（0，1]．
由（2），知f（m）==（m+2）+-4qqqq1q
当m∈[-1，0）时，任取m1、m2，0＞m1＞m2≥-1，则
f（m1）-f（m2）=（m1-m2）+（）
=（m1-m2）[1-]．
由0＞m1＞m2≥-1，知0＜（m1+2）（m2+2）＜4，1-＜0．
又由m1-m2＞0知f（m1）＜f（m2）因而f（m）为减函数．
可见，当m∈[-1，0）时，p∈（0，1]．
同样可证，当m∈（0，1]时，f（m）为增函数，从而p∈（0，]．
解法二：由解法一知，m∈[-1，0）∪（0，1]．由（2）知
p=f（m）=．
设t=，g（t）=t+2t2，则t∈（-∞，-1]∪[1，+∞），
又g（t）=2t2+t=2（t+）2-．
∴当t∈（-∞，-1]时，g（t）为减函数，g（t）∈[1，+∞）．
当t∈[1，+∞）时，g（t）为增函数，g（t）∈[3，+∞）．
因此，当m∈[-1，0]时，t∈（-∞，-1]，p=∈（0，1]；
当m∈（0，1]时，t∈[1，+∞），p∈（0，]．