Question

给出以下四个命题：
①已知命题p：∃x∈R，tanx=2；命题q：∀x∈R，x²-x+1≥0．命题p和q都是真命题；
②过点（-1，2）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是x+y-1=0或2x+y=0；
③函数f（x）=lnx+2x-1在定义域内有且只有一个零点；
④先将函数的图象向左平移个单位，再将新函数的周期扩大为原来的两
倍，则所得图象的函数解析式为y=sinx．
其中正确命题的序号为    ．（把你认为正确的命题序号都填上）

Answer

①命题p：∃x∈R，tanx=2为真命题，命题q：x2-x+1=≥0成立
②过点（-1，2）且在x轴和y轴上的截距相等，分（i）当截距a=b=0（ii）当截距a=b≠0分别求解直线方程
③只需判断函数y=-2x+1的图象与函数y=lnx的图象的交点的个数即可
④根据函数的图象的平移法则及周期变化的法则可求
【解析】
①命题p：∃x∈R，tanx=2为真命题，命题q：∀x∈R，x2-x+1=≥0为真命题，①正确
②过点（-1，2）且在x轴和y轴上的截距相等
（i）当截距a=b=0时，直线方程为y=-2x即2x+y=0
（ii）当截距a=b≠0时，可设直线方程为，由直线过（-1，2）可得a=1，则直线方程为x+y-1=0，②正确
③根据函数的图象可知，函数y=lnz与函数y=-2x+1的函图象只有一个交点，即函数f（x）=lnx+2x-1在定义域内有且只有一个零点；③正确
④将函数的图象向左平移个单位可得函数y=sin2x的图象，再将新函数的周期扩大为原来的两倍，可得图象的函数解析式为y=sinx．④正确
故答案为：①②③④