Question

根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为：x₁，x₂，…，x_n，…，x₂₀₀₈；y₁，y₂，…，y_n，…，y₂₀₀₈．
（1）①写出x₁，x₂，x₃，x₄，②求数列{x_n}的通项公式x_n；
（2）写出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出数列{y_n}的一个通项公式y_n，并证明你的结论．

Answer

（1）由由程序框图可知xn+1=xn+2，x1=1，代入递推公式可得x1，x2，x3，x4，的值，进而根据等差数列的性质可得{xn}是首项为x1=1公差为2的等差数列，进而得到其通项公式；
（2）由程序框图可知yn+1=3yn+2，y1=2，代入递推公式可得y1，y2，y3，y4，的值，进而猜想出数列{yn}的一个通项公式yn，理由综合法，可证明结论．
【解析】
（1）由程序框图可知：
xn+1=xn+2…（1分）
x1=1，x2=3，x3=5，x4=7…（4分）
∴{xn}是首项为x1=1公差为2的等差数列
∴xn=1+（n-1）2=2n-1
即{xn}的通项公式为xn=2n-1…（7分）
（2）由程序框图可知yn+1=3yn+2…（8分）
∵y1=2，∴y2=8，y3=26，y4=80…（11分）
猜想yn=3n-1，以下为证明…（12分）…
∵yn+1=3yn+2，∴yn+1+1=3（yn+1），
∴{yn+1}是首项为y1+1=3，公比为3
的等比数列，∴yn+1=3n，∴yn=3n-1．…（14分）