Question

若椭圆过点（-3，2）离心率为，⊙O的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M的方程为（x-8）²+（y-6）²=4，过⊙M上任一点P作⊙的切线PA、PB切点为A、B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线PA与⊙M的另一交点为Q当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程；
（3）求的最大值与最小值．

Answer

（1）把点（3，2）代入椭圆方程，进而根据离心率和a，b，c的关系求得a和b，则椭圆方程可得．
（2）当直线PA过圆M的圆心（8，6），弦PQ最大．因为直线PA的斜率一定存在，所以可设直线PA的方程为：y-6=k（x-8）
又因为PA与圆O相切，进而可求得圆心（0，0）到直线PA的距离求得k，则直线方程可得．
（3）设∠AOP=α，则∠AOP=∠BOP，∠AOB=2α，根据二倍角公式求得cos∠AOB，进而根据•=cos∠AOB求得的最大值与最小值．
【解析】
（1）由题意得：解得a=，b=
所以椭圆的方程为
（2）由题可知当直线PA过圆M的圆心（8，6），弦PQ最大．
因为直线PA的斜率一定存在，所以可设直线PA的方程为：y-6=k（x-8）
又因为PA与圆O相切，所圆心（0，0）到直线PA的距离为
即=，
可得k=或k=
所以直线PA的方程为：x-3y+10=0或13x-9y-50=0
（3）设∠AOP=α，
则∠AOP=∠BOP，∠AOB=2α，
则cos∠AOB=2cos2α-1=-1，
∴•=cos∠AOB=-10
∴（•）max=-，（•）min=-