Question

已知F₁（-2，0），F₂（2，0），点P满足|PF₁|-|PF₂|=2，记点P的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若直线l过点F₂且与轨迹E交于P、Q两点．无论直线l绕点F₂怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值．

Answer

（1）由条件知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，从而写出轨迹E的方程即可．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量垂直关系即可求得m值，从而解决问题．
【解析】
（1）由|PF1|-|PF2|=2＜|F1F2|知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，
由c=2，2a=2，∴b2=3，故轨迹E的方程为．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P（x1，y1），Q（x2，y2），
与双曲线方程联立消y得（k2-3）x2-4k2x+4k2+3=0，
∴
解得k2＞3．
∵
=（x1-m）（x2-m）+k2（x1-2）（x2-2）
=（k2+1）x1x2-（2k2+m）（x1+x2）+m2+4k2
=
=．（7分）
∵MP⊥MQ，∴，
故得3（1-m2）+k2（m2-4m-5）=0对任意的k2＞3恒成立，
∴，解得m=-1．
∴当m=-1时，MP⊥MQ．
当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，-3）及M（-1，0）知结论也成立，
综上，当m=-1时，MP⊥MQ．