Question

设．
（1）若f'（2）=0，求过点（2，f（2））的切线方程；
（2）若f（x）在其定义域内为单调增函数，求k的取值范围．

Answer

（1）由导数运算公式和求导法则，算出f'（x）的表达式，根据f'（2）=0算出k的值，从而得到切点坐标（2，-2ln2），最后根据直线的点斜式方程列式，化简即得曲线y=f（x）过点（2，f（2））的切线方程；
（2）根据题意，f'（x）≥0在其定义域（0，+∞）上恒成立，采用变量分离的方法并利用不基本不等式求最值，即可解出实数k的取值范围为[1，+∞）．
【解析】
（1）∵，
∴
∴f'（2）=0即=0，解之得k=，
可得f（2）=2k--2ln2=-2ln2
∴曲线y=f（x）过点（2，f（2））的切线方程为y-（-2ln2）=0（x-2），化简得y=-2ln2；
（2）由，令h（x）=kx2-2x+k，
要使f（x）在其定义域（0，+∞）上单调递增，
只需h（x）在（0，+∞）内满足：h（x）≥0恒成立．
由h（x）≥0，得kx2-2x+k≥0，即在（0，+∞）上恒成立
∵x＞0，得，∴≤1，得k≥1
综上所述，实数k的取值范围为[1，+∞）．-----------（12分）