Question

已知数列{a_n}中a₁=，a_n=2-（n≥2，n∈N*），数列{b_n}，满足b_n=（n∈N*）．
（1）求证数列{b_n]是等差数列；
（2）若S_n=（a₁-1）•（a₂-1）+（a₂-1）•（a₃-1）+…+（a_n-1）•（a_n+1-1），则S_n是否存在最大值或最小值？若有，求出最大值与最小值，若没有说明理由．

Answer

（1）由已知中bn=，an=2-，我们易得到bn-bn-1=1，再由a1=，求出数列{bn]是首项b1，后即可得到数列{bn]是等差数列；
（2）由（1）中的结论，我们可得an-1=，由此可将Sn=（a1-1）•（a2-1）+（a2-1）•（a3-1）+…+（an-1）•（an+1-1），进行化简，构造设函数，讨论函数的单调性后，易得到当n=2时，Sn取最大值，代入即可得到结果．
【解析】
（1）由题意知bn=，∴bn-bn-1=-=1（n∈N*），
∴数列{bn]是首项为b1==-，公差为1的等差数列．
（2）依题意有．an-1=
Sn=（a1-1）•（a2-1）+（a2-1）•（a3-1）+…+（an-1）•（an+1-1）=，
设函数，则函数在（，+∞）上为减函数．
Sn在[3+∞）上是递增，且Sn＜，故当n=3时，且Sn=，取最小值-．
而函数在（-∞，）上也为减函数，Sn在（1，2]上是递增，且Sn＞，
故当n=2时，Sn取最大值：S2=．Sn的最大值为．