Question

已知函数f（x）=ax³-bx²+9x+2，若f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-6．
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若对任意的x∈[，2]都有f（x）≥t²-2t-1成立，求函数g（x）≥t²+t-2的最值．

Answer

（1）先求导数f'（x）＜0，以及导数的几何意义知在x=1处的导数等于切线的斜率，切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可求出函数f（x）的解析式．再根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间．
（2）先由（1）可f（x）的极大值，及f（x）[，2]上的最小值2，f（x）≥t2-2t-1，x∈[，2]上恒成立，求得t的取值范围，最后利用二次函数在某区间上的最值问题，求得g（t）最值．
【解析】
由已知得切点（1，3），f′（x）=3ax2-2bx+9
（1）由题意可，
解得
f（x）=4x3-12x2+9x+2，f′（x）=12x2-24x+9，
f′（x）=0得x=或，f′（x）＞0，得x＞x＜，
f′（x）＜0＜x＜，f（x）的单调增区间（，+∞），（-∞，），
f（x）的单调减区间（，）．

（2）由（1）可知，f（x）的极小值f（）=2，
f（）=，f（2）=4，
∴f（x）[，2]上的最小值2，
f（x）≥t2-2t-1x∈[，2]上恒成立，t2-2t-1≤2，t2-2t-3≤0，
解-1≤t≤3，g（x）=t2+t-2，
故t=时g（t）最小值-，t=3时g（t）最大值为10．