(1)根据已知中f(x)=-ax+b+axlnx,求出f(e)=b,且f(e)=2,得b=2.
(2)求出导数f'(x)=alnx,利用导数与单调性的关系,分a>0,a<0两种情形求解.
(3)当a=1时,f′(x)=ln,,求出导函数零点后,利用零点分段法,分类讨论后,即可得到函数f(x)的值域.
【解析】
(1)由f(e)=-ae+b+aelne=b,且f(e)=2,得b=2.
(2)由(1)可得f(x)=-ax+2+axlnx.从而f′(x)=alnx.因为a≠0,故:
①当a>0时,由f′(x)>0得x>1,由f′(x)<0得0<x<1;
②当a<0时,由f′(x)>0得0<x<1,由f′(x)<0得x>1.
综上,当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1);
当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
(3)当a=1时,f(x)=-x+2+xlnx,f′(x)=lnx.
由(2)可得,当x在区间内变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x () 1 (1,e) e
f′(x) - +
f(x) 2- 单调递减 极小值1 单调递增 2
又2-<2,所以函数f(x)(x∈)的值域为[1,2].