Question

等差数列{a_n}中，公差d≠0，已知数列，，……是等比数列，其中k₁=1，k₂=7，k₃=25．
（1）求数列{k_n}的通项公式k_n；
（2）若a₁=9，b_n=（n∈N₊），S_n是数列{b_n}的前n项和，求证．

Answer

（1）设{an}的首项为a1，公差为d（d≠0），由题意可求得a1=3d，于是可求得an的关于d的表达式，再利用又=可求得其公比，继而可求得的关系式，两者联立即可求得数列{kn}的通项公式kn；
（2）利用（1）的结论，利用裂项法可求得bn=-，从而可求得Sn=-1，要证结论成立，构造函数f（x）=-+1，利用其导数即可解决问题．
【解析】
（1）设{an}的首项为a1，公差为d（d≠0），
∵a1，a7，a25成等比数列，
∴=a1（a1+24d），
∴36d2=12a1d，又d≠0，
∴a1=3d…3分
∴an=3d+（n-1）d=（n+2）d，
又===3，…5分
∴{}是以a1=3d为首项，3为公比的等比数列，
∴=3d•3n-1=d•3n…6分
∴（kn+2）d=d•3n（d≠0），
∴kn=3n-2（n∈N*）…7分
（2）证明：∵a1=9=3d，
∴d=3，…8分
∴=d•3n=3n+1，又kn=3n-2，
∴bn===-，…10分
∴Sn=b1+b2+…+bn=-1+-+…+-
=-1．故只需证-1＜⇔-+1＞0，
令f（x）=-+1，…12分
则f′（x）=-•＞0在[1，+∞）上恒成立，
∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，
故f（x）≥f（1）=-＞0，
∴-+1＞0在[1，+∞）上恒成立，
∴-1＜（n∈N*），
即Sn＜…14分