Question

已知：函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（2）若a=9，b=1，求函数f（x）的单调区间与极值点．

Answer

（1）先求导函数，根据曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，则f'（2）=0，f（2）=0建立方程组，解之即可求出a和b的值；
（2）先求出f'（x）=0的值，然后判定导数符号确定函数的单调区间，根据极值的定义判定极值点，代入函数解析式求出极值即可．
【解析】
（1）f'（x）=3x2-3a，
∵曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，
∴⇒⇒
（2）∵f（x）=x3-27x+1，∴f'（x）=3x2-27，令f'（x）=0，则x=±3，即：

x （-∞，-3） -3 （-3，3） 3 （3，+∞）
f'（x） + - +
f（x） 增 极大 减 极小 增

则函数f（x）=x3-27x+1的单调增区间是：（-∞，-3），（3，+∞）
单调减区间是：（-3，3）
x=-3是极大值点，极大值为f（-3）=55；
x=3是极小值点，极小值为f（3）=-53．