Question

当n=1，2，3，4，5，6时，比较2ⁿ和n²的大小并猜想（ ）
A．n≥1时，2ⁿ＞n²
B．n≥3时，2ⁿ＞n²
C．n≥4时，2ⁿ＞n²
D．n≥5时，2ⁿ＞n²

Answer

此题应从特例入手，当n=1，2，3，4，5，6，…时探求2n与n2的大小关系，也可以从y=2x与y=x2的图象（x＞0）的变化趋势猜测2n与n2的大小关系．
【解析】
当n=1时，21＞12，即2n＞n2；
当n=2时，22=22，即2n=n2；
当n=3时，23＜32，即2n＜n2；
当n=4时，24=42，即2n=n2；
当n=5时，25＞52，即2n＞n2；
当n=6时，26＞62；
…
猜测当n≥5时，2n＞n2；
下面我们用数学归纳法证明猜测成立，
（1）当n=5时，由以上可知猜测成立，
（2）设n=k（k≥5）时，命题成立，即2k＞k2，
当n=k+1时，2k+1=2•2k＞2k2=k2+k2＞k2+（2k+1）=（k+1）2，即n=k+1时，命题成立，
由（1）和（2）可得n≥5时，2n与n2的大小关系为：2n＞n2；
故答案为：n=2或4时，2n=n2；n=3时，2n＜n2；n=1及n取大于4的正整数时，都有2n＞n2．
故选D．