Question

已知等式sin²30°+sin²30°+sin²30°•sin²30°=，sin²40°+sin²20°+sin²40°•sin²20°=
（1）观察上述式子的特点，归纳出一般的结论；
（2）证明归纳出的结论．

Answer

（1）观察所给的等式，等号左边是sin230°+sin230°+sin30°•sin30°、sin240°+sin220°+sin40°•sin20°…规律应该是sin2α+sin2（60°-α）+sinαsin（60°-α）；右边的式子：，写出结果．
（2）sin2α+sin2（60°-α）+sinαsin（60°-α）利用三角函数的差角公式化得sin2α+（sin60°cosα-cos60°sinα）2+sinα（sin60°cosα-cos60°sinα）整理得sin2α+cos2α，即可得证．
【解析】
（1）观察等式：
sin230°+sin230°+sin30°•sin30°=，sin240°+sin220°+sin40°•sin20°=，…，
照此规律，可以得到的一般结果应该是
sin2α+sin2（60°-α）+sinαsin（60°-α）=，
（2）sin2α+sin2（60°-α）+sinαsin（60°-α）
=sin2α+（sin60°cosα-cos60°sinα）2+sinα（sin60°cosα-cos60°sinα）
=sin2α+cos2α+sin2α-sinαcosα+sinαcosα-sin2α
=sin2α+cos2α=．得证．