Question

若函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象如图所示，则一定有（ ）

A．a＜0b＞0c＞0d＜0
B．a＜0b＜0c＞0d＜0
C．a＜0b＞0c＜0d＜0
D．a＜0b＜0c＜0d＜0

Answer

由已知中函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象，根据其与y轴交点的位置，可以判断d的符号，进而根据其单调性和极值点的位置，可以判断出其中导函数图象的开口方向（可判断a的符号）及对应函数两个根的情况，结合韦达定理，可分析出b，c的符号，进而得到答案．
【解析】
∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴交点的纵坐标为负，故d＜0；
∵f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象有两个递减区间，有两个递增区间
∴f′（x）=3ax2+2bx+c的图象开口方向朝下，且于x轴有两个交点，故a＜0，
又∵f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象的极小值点和极大值点在y轴两侧，且极小点离y轴近
∴f′（x）=3ax2+2bx+c=0的两根x1，x2满足
x1+x2＞0，则b＞0，x1•x2＜0，则c＞0
综上a＜0，b＞0，c＞0，d＜0，
故选A