Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为A₁D₁的中点，Q为A₁B₁上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值．则下面的四个结论中：
①点P到平面QEF的距离为定值；
②直线PQ与平面PEF所成的角为定值；
③二面角P-EF-Q的大小为定值；
④三棱锥P-QEF的体积为定值．
正确的是（ ）

A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②④

Answer

根据线面平行的性质可以判断A答案的对错；根据线面角的定义，可判断B的大小；根据两条平行线共面，可以判断C答案的对错，根据等底同高的三角形面积相等及A的结论结合棱锥的体积公式，可以判断D的对错，进而得到答案．
【解析】
①、QEF平面也就是平面A1B1CD，既然P和平面QEF都是定的，所以P到平面QEF的距离是定值．
②、Q是动点，EF也是动点，推不出定值的结论，所以就不是定值．
③、∵A1B1∥CD，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上任意两点，
∴二面角P-EF-Q的大小为定值
④、△QEF的面积是定值．（因为EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值）再根据1的结论P到QEF平面的距离也是定值，所以三棱锥的高也是定值，于是体积固定．
故选C