Question

已知：f_n（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且数列{a_n}成等差数列．
（1）当n为正偶数时，f_n（-1）=n，且a₁=1，求数列{a_n}的通项；
（2）试比较与3的大小．

Answer

（1）利用已知条件，写出f（1），f（-1）的表达式，结合等差数列的前n项和公式和等差数列的性质，列方程求出a1、d，进而写出an．
（2）利用错位相减法先求出fn（ ），再利用不等式的有关性质，结合数列的单调性和极限的思想，即可得出比3小．
【解析】
（1）若n为偶数，则-a1+a2-a3+…-an-1+an=n
设{an}的公差为d，则dn=n，所以，d=2．
又∵a1=1，
∴an=2n-1．（6分）
（2）=
两式相减得：=
所以，
所以，．（13分）