Question

点Q位于直线x=-3右侧，且到点F（-1，0）与到直线x=-3的距离之和等于4．
（1）求动点Q的轨迹C；
（2）直线l过点M（1，0）交曲线C于A、B两点，点P满足，，又=（x，0），其中O为坐标原点，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，△PEF能否成为以EF为底的等腰三角形？若能，求出此时直线l的方程；若不能，请说明理由．

Answer

（1）由于题设条件中知Q位于直线x=-3右侧，且到点F（-1，0）与到直线x=-3的距离之和等于4，故可设出Q（x，y），利用距离之和等于建立方程，整理出动点Q的轨迹C的方程；
（2）先处理条件点P满足，，又=（x，0），得出P是AB中点，E是线段AB垂直平分线与X轴交点，设出直线l的方程为y=k（x-1），代入轨迹C的方程得到：k2x2+（4-2k2）x+k2=0（-3＜x≤0）（*）找出l与C有两个不同交点的条件，解出引入的参数k的取值范围，再由根与系数的关系解出AB中点P的坐标（用k表示），得出直线EP的方程，再研究E点的横坐标求出x的取值范围；
（3）不妨先假设可以，则须有2xP=xE+xF，即：，解得：，这与（2）中的条件矛盾，即可说明这样的直线不存在
【解析】
（1）Q（x，y），则|QF|+x+3=4（x＞-3），即：，化简得：y2=-4x（-3＜x≤0）．
所以，动点Q的轨迹为抛物线y2=-4x位于直线x=-3右侧的部分．…（4分）
（2）因为，所以，P为AB中点；又因为，且=（x，0），所以，点E为线段AB垂直平分线与x轴交点．
由题可知：直线l与x轴不垂直，所以可设直线l的方程为y=k（x-1），代入轨迹C的方程得到：k2x2+（4-2k2）x+k2=0（-3＜x≤0）（*）
设f（x）=k2x2+（4-2k2）x+k2，要使得l与C有两个不同交点，需且只需
解之得：．
由（*）式得：，所以，AB中点P的坐标为：，．
所以，直线EP的方程为
令y=0得到点E的横坐标为．
因为，所以，xE∈（，-3）．…（10分）
（3）不可能．…（11分）
要使△PEF成为以EF为底的等腰三角形，需且只需2xP=xE+xF，即：，解得：．
另一方面，要使直线l满足（2）的条件，需要，所以，不可能使△PEF成为以EF为底的等腰三角形．…（14分）