Question

设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：
①c=0时，f（x）是奇函数；
②b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实根；
③f（x）的图象关于（0，c）对称；
④方程f（x）=0至多两个实根．
其中正确的命题是（ ）
A．①④
B．①③
C．①②③
D．①②④

Answer

①c=0时，可由奇函数的定义判断正确．③由①可知c=0时，f（x）图象关于原点对称，故f（x）=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位，故关于（0，c）对称正确；②④中取b=-3，c=2即可判断错误．
【解析】
①c=0时，f（-x）=-x|x|-bx=-f（x），故f（x）是奇函数，故①正确；
③由①可知c=0时，f（x）图象关于原点对称，f（x）=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位，故关于（0，c）对称正确；
取b=-1，c=0，则f（x）=x|x|-x=x（|x|-1）=0，x=0或x=±1，故④错误；
b=0，c＞0时函数f（x）是一个增函数，故只有一个零点，故②正确
故选C