Question

若关于x的方程4^x+（a+3）⋅2^x+5=0至少有一个实根在区间[1，2]内，求实数a的取值范围．

Answer

由x∈[1，2]，可得t=2x∈[2，4]，关于x的方程4x+（a+3）⋅2x+5=0至少有一个实根在区间[1，2]内，等价于t2+（a+3）t+5=0至少有一个实根在区间[2，4]内，设f（t）=t2+（a+3）t+5在[2，4]上至少有一个零点，根据函数的零点与方程的根的关系可求
【解析】
∵x∈[1，2]，令t=2x∈[2，4]
关于x的方程4x+（a+3）⋅2x+5=0至少有一个实根在区间[1，2]内
则可得，t2+（a+3）t+5=0（*）至少有一个实根在区间[2，4]内
设f（t）=t2+（a+3）t+5在[2，4]上至少有一个零点
△=（a+3）2-20
（1）若（*）只有一个根，则△=（a+3）2-20=0可得a=-3
当a=-3+2时，方程的根t=-∉[2，4]舍去
当a=-3-2时，方程的根t=∈[2，4]满足条件
（2）若（*）有两个跟，不妨设为t1＜t2，，则△=（a+3）2-20＞0，可得a＞=-3+2或a＜-3-2
①若两根t1，t2∈[2，4]，则解可得，，又a＞=-3+2或a＜-3-2
从而有满足条件
②若t1∈[2，4]，t2∉[2，4]，则，解可得，a不存在
③若t1∉[2，4]，t2∈[1，4]，则，解可得，a不存在
综上可得，