Question

如图所示的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，，M是线段B₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面D₁AC；
（Ⅱ）求三棱锥D₁-AB₁C的体积．

Answer

（Ⅰ）由四边形D1OBM是平行四边形得D1O∥BM，由线面平行的判定得到BM∥平面D1AC
（Ⅱ）由OB1⊥D1O，AC⊥D1O，得到D1O⊥平面AB1C，确定D1O为三棱锥D1-AB1C的高，同时确定△AB1C为底．
【解析】
（Ⅰ）连接D1O，如图，
∵O、M分别是BD、B1D1的中点，BD1D1B是矩形，
∴四边形D1OBM是平行四边形，
∴D1O∥BM．（2分）
∵D1O⊂平面D1AC，BM⊄平面D1AC，∴BM∥平面D1AC．（4分）

（Ⅱ）连接OB1，∵正方形ABCD的边长为2，，
∴，OB1=2，D1O=2，
则OB12+D1O2=B1D12，∴OB1⊥D1O．（6分）
又∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥D1D，且BD∩D1D=D，
∴AC⊥平面BDD1B1，又D1O⊂平面BDD1B1，
∴AC⊥D1O，又AC∩OB1=O，（10分）
∴D1O⊥平面AB1C，即D1O为三棱锥D1-AB1C的高．（12分）
∵，D1O=2
∴．14（5分）