Question

如图，一个几何体由圆柱ADD₁A₁和三棱锥E-ABC组合而成，点A，B，C在⊙O的圆周上，E，A，D三点共线，已知AB⊥AC，AB=AC，AE=AD=1，BC=2．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求三棱锥C-BDE的体积．

Answer

（1）由已知中EA⊥平面ABC，由线面垂直的性质可得ED⊥AC，结合AC⊥AB，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面EBD，再由线面垂直的性质得到AC⊥BD；
（2）由VC-BDE=VE-ABC+VD-ABC，计算出底面ABC的面积，代入棱锥体积公式，可得答案．
证明：（1）因为EA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以EA⊥AC，即ED⊥AC．
又因为AC⊥AB，AB∩ED=A，所以AC⊥平面EBD．
因为BD⊂平面EBD，所以AC⊥BD．（4分）
【解析】
（2）VC-BDE=VE-ABC+VD-ABC
又∵S△ABC=×2×1=1
∴VE-ABC=×S△ABC×VA=
VD-ABC=×S△ABC×DA=
∴VC-BDE=