Question

函数f（x）=6cos²sinωx-3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）=，且x∈（-），求f（x+1）的值．

Answer

（Ⅰ）将f（x）化简为f（x）=2sin（ωx+），利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）由，知x+∈（-，），由，可求得即sin（x+）=，利用两角和的正弦公式即可求得f（x+1）．
【解析】
（Ⅰ）由已知可得，f（x）=3cosωx+sinωx
=2sin（ωx+），
又正三角形ABC的高为2，从而BC=4，
∴函数f（x）的周期T=4×2=8，即=8，ω=，
∴数f（x）的值域为[-2，2]…6分
（Ⅱ）∵f（x）=，由（Ⅰ）有f（x）=2sin（x+）=，
即sin（x+）=，由，知x+∈（-，），
∴cos（x+）==．
∴f（x+1）=2sin（x++）=2sin[（x+）+]=2[sin（x+）cos+cos（x+）sin]
=2（×+×）
=…12分