Question

已知a_n=log_（n+1）（n+2），（n∈N^*），若称使乘积a₁•a₂•a₃…a_n为整数的数n为劣数，则在区间（1，2010）内所有劣数的和为（ ）
A．2026
B．2046
C．1024
D．1022

Answer

由题意，及对数的换底公式知，a1•a2•a3…an=log2（n+2），由此知，劣数+2必为2的整数次幂，由此易得出劣数表达式，此区间（1，2010）内所有劣数的和是一个数列求和问题，由此计算出值选出正确答案
【解析】
由题意an=log（n+1）（n+2），（n∈N*），若称使乘积a1•a2•a3…an为整数的数n为劣数且a1•a2•a3…an=log2（n+2）
故劣数n=2k-2，故最小的劣数为2=22-2，令n=2k-2＜2010，
由于210-2=1022，211-2=2046
故最大的劣数为210-2
∴（1，2010）内所有劣数的和为22-2+23-2+24-2+…+210-2=-18=211-22=2026
故选A